x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6 megoldása

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x=-2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -1,1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2} legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}+2x+1 és x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}-2x+1 és x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: x^{5} és -x^{5}. Az eredmény 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és -x^{2}. Az eredmény -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 2x^{4} és 2x^{4}. Az eredmény 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: -2x és 2x. Az eredmény 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: x^{3} és -x^{3}. Az eredmény 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -1 értéket. Az eredmény -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 6 és x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (6x^{2}-12x+6 és x^{2}+2x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{4} és -6x^{4}. Az eredmény -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12x^{2}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Összevonjuk a következőket: -2x^{2} és 12x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Kivonjuk a(z) 6 értékből a(z) -2 értéket. Az eredmény -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

t behelyettesítése x^{2} helyére.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) -2 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -8 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-10±6}{-4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=1 t=4$$

Mivel x=t^{2}, a megoldások megtalálásához x=±\sqrt{t} értékét minden egyes t értékre vonatkozóan kiértékelve kapjuk meg.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 1,-1.

$$x=-2 x=2$$