v/v^2+17v+72-8/v^2+15v+56 megoldása

$$\frac { v } { v ^ { 2 } + 17 v + 72 } - \frac { 8 } { v ^ { 2 } + 15 v + 56 }$$

Kiértékelés

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

A gyors megoldás lépései

Szorzattá alakítjuk a(z) v^{2}+17v+72 kifejezést. Szorzattá alakítjuk a(z) v^{2}+15v+56 kifejezést.

$$\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)}$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(v+8\right)\left(v+9\right) és \left(v+7\right)\left(v+8\right) legkisebb közös többszöröse \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} és \frac{v+7}{v+7}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} és \frac{v+9}{v+9}.

$$\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Mivel \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} és \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Elvégezzük a képletben (v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Összevonjuk a kifejezésben (v^{2}+7v-8v-72) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: v+8.

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

Kifejtjük a következőt: \left(v+7\right)\left(v+9\right).

$$\frac{v-9}{v^{2}+16v+63}$$

Differenciálás v szerint

$$\frac{207+18v-v^{2}}{v^{4}+32v^{3}+382v^{2}+2016v+3969}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Szorzattá alakítjuk a(z) v^{2}+17v+72 kifejezést. Szorzattá alakítjuk a(z) v^{2}+15v+56 kifejezést.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)})$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(v+8\right)\left(v+9\right) és \left(v+7\right)\left(v+8\right) legkisebb közös többszöröse \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} és \frac{v+7}{v+7}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} és \frac{v+9}{v+9}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Mivel \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} és \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Elvégezzük a képletben (v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Összevonjuk a kifejezésben (v^{2}+7v-8v-72) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: v+8.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)})$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (v+7 és v+9), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{v^{2}+16v+63})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}-9)-\left(v^{1}-9\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{2}+16v^{1}+63)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{1-1}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{2-1}+16v^{1-1}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: v^{2}+16v^{1}+63 és v^{0}.

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: v^{1}-9 és 2v^{1}+16v^{0}.

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}\times 2v^{1}+v^{1}\times 16v^{0}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{1+1}+16v^{1}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{2}+16v^{1}-18v^{1}-144v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{-v^{2}+18v^{1}+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$\frac{-v^{2}+18v+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{-v^{2}+18v+207\times 1}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t\times 1=t és 1t=t.

$$\frac{-v^{2}+18v+207}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$