4/x^2-55/x=14 megoldása

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } } - \frac { 55 } { x } = 14$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{14}\approx 0,071428571$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2},x legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x^{2}.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x^{2}.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és 55. Az eredmény -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -14x^{2}+ax+bx+4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-55 ab=-14\times 4=-56$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -56.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -55.

$$a=1 b=-56$$

Átírjuk az értéket (-14x^{2}-55x+4) \left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right) alakban.

$$\left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és -4 faktort.

$$-x\left(14x-1\right)-4\left(14x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 14x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(14x-1\right)\left(-x-4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 14x-1=0 és a -x-4=0.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2},x legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x^{2}.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x^{2}.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és 55. Az eredmény -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -14 értéket a-ba, a(z) -55 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -55.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -14.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 56 és 4.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+224}}{2\left(-14\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 3025 és 224.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3249}}{2\left(-14\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3249.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±57}{2\left(-14\right)}$$

-55 ellentettje 55.

$$x=\frac{55±57}{2\left(-14\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -14.

$$x=\frac{55±57}{-28}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{55±57}{-28}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 55 és 57.

$$x=\frac{112}{-28}$$

112 elosztása a következővel: -28.

$$x=-4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{55±57}{-28}). ± előjele negatív. 57 kivonása a következőből: 55.

$$x=-\frac{2}{-28}$$

A törtet (\frac{-2}{-28}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{14}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-4 x=\frac{1}{14}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2},x legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x^{2}.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x^{2}.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-x\times 55-14x^{2}=-4$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és 55. Az eredmény -55.

$$-55x-14x^{2}=-4$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-14x^{2}-55x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -14.

$$\frac{-14x^{2}-55x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

A(z) -14 értékkel való osztás eltünteti a(z) -14 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{55}{-14}\right)x=-\frac{4}{-14}$$

-55 elosztása a következővel: -14.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

A törtet (\frac{-4}{-14}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=\frac{2}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{55}{14} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{55}{28}. Ezután hozzáadjuk \frac{55}{28} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}$$

A(z) \frac{55}{28} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{2}{7}+\frac{3025}{784}$$

\frac{2}{7} és \frac{3025}{784} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{3249}{784}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{3249}{784}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3249}{784}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{55}{28}=\frac{57}{28} x+\frac{55}{28}=-\frac{57}{28}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{55}{28}.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$