2/x+15/x+6=1 megoldása

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=12$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -6,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+6 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x+6\right).

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+6 és 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Összevonjuk a következőket: 2x és x\times 15. Az eredmény 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6x.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Összevonjuk a következőket: 17x és -6x. Az eredmény 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx+12 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 11.

$$a=12 b=-1$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}+11x+12) \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-12 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-12=0 és a -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -6,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+6 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x+6\right).

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+6 és 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Összevonjuk a következőket: 2x és x\times 15. Az eredmény 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6x.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Összevonjuk a következőket: 17x és -6x. Az eredmény 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 11 értéket b-be és a(z) 12 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±13}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -11 és 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

2 elosztása a következővel: -2.

$$x=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±13}{-2}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

-24 elosztása a következővel: -2.

$$x=12$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-1 x=12$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -6,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+6 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x+6\right).

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+6 és 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Összevonjuk a következőket: 2x és x\times 15. Az eredmény 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6x.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Összevonjuk a következőket: 17x és -6x. Az eredmény 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 12. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$11x-x^{2}=-12$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

11 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

-12 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Elosztjuk a(z) -11 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 12 és \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{2}.

$$x=12 x=-1$$