1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21} megoldása

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

A megoldás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -8,-5,-2,1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right).

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 21 és x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (21x+105 és x+8), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 21 és x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (21x-21 és x+8), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Összevonjuk a következőket: 21x^{2} és 21x^{2}. Az eredmény 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Összevonjuk a következőket: 273x és 147x. Az eredmény 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kivonjuk a(z) 168 értékből a(z) 840 értéket. Az eredmény 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 21 és x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (21x+42 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Összevonjuk a következőket: 42x^{2} és 21x^{2}. Az eredmény 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Összevonjuk a következőket: 420x és 21x. Az eredmény 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kivonjuk a(z) 42 értékből a(z) 672 értéket. Az eredmény 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 7 és x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (7x+14 és x+5), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (7x^{2}+49x+70 és x+8), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 21 és -\frac{1}{21}. Az eredmény -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -1 és x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-x+1 és x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-x^{2}-x+2 és x+5), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-x^{3}-6x^{2}-3x+10 és x+8), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Összevonjuk a következőket: 7x^{3} és -14x^{3}. Az eredmény -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Összevonjuk a következőket: 105x^{2} és -51x^{2}. Az eredmény 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Összevonjuk a következőket: 462x és -14x. Az eredmény 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Összeadjuk a következőket: 560 és 80. Az eredmény 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Összevonjuk a következőket: 63x^{2} és -54x^{2}. Az eredmény 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 448x.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Összevonjuk a következőket: 441x és -448x. Az eredmény -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 640.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Kivonjuk a(z) 640 értékből a(z) 630 értéket. Az eredmény -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x^{4}.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Átrendezzük az egyenletet, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -10 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±10,±5,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+8x^{2}+17x+10. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 10 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±10,±5,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+8x^{2}+17x+10 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}+7x+10. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+7x+10=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-5 x=-2$$

Azon értékek eltávolítása, amelyeket a változó nem vehet fel.

$$x=-1$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 1,-5,-2.

$$x=-1$$