1/15x^2-3/10x+1/3=0 megoldása

$$\frac { 1 } { 15 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 1 } { 3 } = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) \frac{1}{15} értéket a-ba, a(z) -\frac{3}{10} értéket b-be és a(z) \frac{1}{3} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

A(z) -\frac{3}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{1}{15}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{4}{15} és \frac{1}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{45}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

\frac{9}{100} és -\frac{4}{45} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{1}{900}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: \frac{1}{900}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

-\frac{3}{10} ellentettje \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{1}{15}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}). ± előjele pozitív. \frac{3}{10} és \frac{1}{30} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{15}}$$

\frac{1}{3} elosztása a következővel: \frac{2}{15}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{1}{3} értéket megszorozzuk a(z) \frac{2}{15} reciprokával.

$$x=\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}). ± előjele negatív. \frac{1}{30} kivonása a következőből: \frac{3}{10}: megkeressük a közös nevezőt, majd kivonjuk egymásból a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{15}}$$

\frac{4}{15} elosztása a következővel: \frac{2}{15}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{4}{15} értéket megszorozzuk a(z) \frac{2}{15} reciprokával.

$$x=2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ha kivonjuk a(z) \frac{1}{3} értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x=-\frac{1}{3}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 15.

$$\frac{\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x}{\frac{1}{15}}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

A(z) \frac{1}{15} értékkel való osztás eltünteti a(z) \frac{1}{15} értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}}\right)x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

-\frac{3}{10} elosztása a következővel: \frac{1}{15}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{3}{10} értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{15} reciprokával.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

-\frac{1}{3} elosztása a következővel: \frac{1}{15}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{1}{3} értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{15} reciprokával.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-5$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-5+\frac{81}{16}$$

Összeadjuk a következőket: -5 és \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{4}.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$