+(1+5x)(100-x)=10 megoldása

$$+ ( 1 + 5 x ) ( 100 - x ) = 10$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{250801} + 499}{10} \approx 99,980035942$$

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}\approx -0,180035942$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (1+5x és 100-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$100+499x-5x^{2}=10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 10.

$$100+499x-5x^{2}-10=0$$

Kivonjuk a(z) 10 értékből a(z) 100 értéket. Az eredmény 90.

$$90+499x-5x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-5x^{2}+499x+90=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) 499 értéket b-be és a(z) 90 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-499±\sqrt{499^{2}-4\left(-5\right)\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 499.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001-4\left(-5\right)\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001+20\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és 90.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001+1800}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 249001 és 1800.

$$x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -499 és \sqrt{250801}.

$$x=\frac{\sqrt{250801}-499}{-10}$$

-499+\sqrt{250801} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10}). ± előjele negatív. \sqrt{250801} kivonása a következőből: -499.

$$x=\frac{-\sqrt{250801}-499}{-10}$$

-499-\sqrt{250801} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10} x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (1+5x és 100-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$100+499x-5x^{2}=10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 100.

$$499x-5x^{2}=10-100$$

Kivonjuk a(z) 100 értékből a(z) 10 értéket. Az eredmény -90.

$$499x-5x^{2}=-90$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-5x^{2}+499x=-90$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}+499x}{-5}=-\frac{90}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{499}{-5}x=-\frac{90}{-5}$$

499 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x=-\frac{90}{-5}$$

-90 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x=18$$

Elosztjuk a(z) -\frac{499}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{499}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{499}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\left(-\frac{499}{10}\right)^{2}=18+\left(-\frac{499}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{499}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}=18+\frac{249001}{100}$$

Összeadjuk a következőket: 18 és \frac{249001}{100}.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}=\frac{250801}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{499}{10}\right)^{2}=\frac{250801}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{499}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{250801}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{499}{10}=\frac{\sqrt{250801}}{10} x-\frac{499}{10}=-\frac{\sqrt{250801}}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{499}{10}.

$$x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10} x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}$$