Riješi k^2-k-4>0

$$k ^ { 2 } - k - 4 > 0$$

Izračunaj k

$$k\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{17}+1}{2},\infty\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$k^{2}-k-4=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, -1 s b i -4 s c.

$$k=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Izračunajte.

$$k=\frac{1±\sqrt{17}}{2}$$

Riješite jednadžbu k=\frac{1±\sqrt{17}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$k=\frac{\sqrt{17}+1}{2} k=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$\left(k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}\right)\left(k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)>0$$

Da bi umnožak bio pozitivan, i k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} i k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} moraju biti negativni ili pozitivni. Razmislite o slučaju u kojem su i k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} i k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} negativni.

$$k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}<0 k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}.

$$k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} i k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} pozitivni.

$$k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}>0 k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}.

$$k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\text{; }k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$