Riješi 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

Izračunaj x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$x=3$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 9x^{2}+ax+bx-24. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -216 proizvoda.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

Rješenje je par koji daje zbroj -19.

$$a=-27 b=8$$

Izrazite 9x^{2}-19x-24 kao \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

Faktor 9x u prvom i 8 u drugoj grupi.

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-3 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i 9x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 9 s a, -19 s b i -24 s c.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrirajte -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i -24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Dodaj 361 broju 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

Broj suprotan broju -19 jest 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{19±35}{18}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{19±35}{18} kad je ± plus. Dodaj 19 broju 35.

$$x=\frac{54}{18}$$

Podijelite 54 s 18.

$$x=3$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{19±35}{18} kad je ± minus. Oduzmite 35 od 19.

$$x=-\frac{16}{18}$$

Skratite razlomak \frac{-16}{18} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{8}{9}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Dodajte 24 objema stranama jednadžbe.

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Oduzimanje -24 samog od sebe dobiva se 0.

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

Oduzmite -24 od 0.

$$9x^{2}-19x=24$$

Podijelite obje strane sa 9.

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

Dijeljenjem s 9 poništava se množenje s 9.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

Skratite razlomak \frac{24}{9} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 3.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

Podijelite -\frac{19}{9}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{19}{18}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{19}{18} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{19}{18} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Dodajte \frac{8}{3} broju \frac{361}{324} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Dodajte \frac{19}{18} objema stranama jednadžbe.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$