Riješi 8y^2+4y-1>=0

$$8 { y }^{ 2 } +4y-1 > =0$$

Izračunaj y

$$y\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{3}-1}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}-1}{4},\infty\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$8y^{2}+4y-1=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 8 s a, 4 s b i -1 s c.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Izračunajte.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{16}$$

Riješite jednadžbu y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{16} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{4}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$8\left(y-\frac{\sqrt{3}-1}{4}\right)\left(y-\frac{-\sqrt{3}-1}{4}\right)>0$$

Da bi umnožak bio pozitivan, i y-\frac{\sqrt{3}-1}{4} i y-\frac{-\sqrt{3}-1}{4} moraju biti negativni ili pozitivni. Razmislite o slučaju u kojem su i y-\frac{\sqrt{3}-1}{4} i y-\frac{-\sqrt{3}-1}{4} negativni.

$$y-\frac{\sqrt{3}-1}{4}<0 y-\frac{-\sqrt{3}-1}{4}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest y<\frac{-\sqrt{3}-1}{4}.

$$y<\frac{-\sqrt{3}-1}{4}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i y-\frac{\sqrt{3}-1}{4} i y-\frac{-\sqrt{3}-1}{4} pozitivni.

$$y-\frac{-\sqrt{3}-1}{4}>0 y-\frac{\sqrt{3}-1}{4}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest y>\frac{\sqrt{3}-1}{4}.

$$y>\frac{\sqrt{3}-1}{4}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$y<\frac{-\sqrt{3}-1}{4}\text{; }y>\frac{\sqrt{3}-1}{4}$$