Riješi 772-2x^2+x-1leq0

$$772 - 2 x ^ { 2 } + x - 1 \leq 0$$

Izračunaj x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{6169}}{4}]\cup [\frac{\sqrt{6169}+1}{4},\infty)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Oduzmite 1 od 772 da biste dobili 771.

$$771-2x^{2}+x\leq 0$$

Pomnožite nejednakost s -1 da bi koeficijent najveće potencije u izrazu 771-2x^{2}+x bio pozitivan. Budući da je -1 negativan, smjer nejednadžbe je promijenjen.

$$-771+2x^{2}-x\geq 0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$-771+2x^{2}-x=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 2 s a, -1 s b i -771 s c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-771\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{6169}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\right)\geq 0$$

Da bi umnožak bio ≥0, i x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} i x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} moraju biti ≤0 ili ≥0. Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} i x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\leq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} i x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\geq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$