Riješi 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 7x^{2}+ax+bx-78. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b pozitivan, pozitivni broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -546 proizvoda.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Rješenje je par koji daje zbroj 5.

$$a=-21 b=26$$

Izrazite 7x^{2}+5x-78 kao \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Faktor 7x u prvom i 26 u drugoj grupi.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-3 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 7 s a, 5 s b i -78 s c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrirajte 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -4 i 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -28 i -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Dodaj 25 broju 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Pomnožite 2 i 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-5±47}{14} kad je ± plus. Dodaj -5 broju 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Podijelite 42 s 14.

$$x=3$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-5±47}{14} kad je ± minus. Oduzmite 47 od -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Skratite razlomak \frac{-52}{14} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Dodajte 78 objema stranama jednadžbe.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Oduzimanje -78 samog od sebe dobiva se 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Oduzmite -78 od 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Podijelite obje strane sa 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Dijeljenjem s 7 poništava se množenje s 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Podijelite \frac{5}{7}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili \frac{5}{14}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte \frac{5}{14} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Kvadrirajte \frac{5}{14} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Dodajte \frac{78}{7} broju \frac{25}{196} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Pojednostavnite.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Oduzmite \frac{5}{14} od obiju strana jednadžbe.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$