Riješi 4x(x-4)+7geq0

$$4 x ( x - 4 ) + 7 \geq 0$$

Izračunaj x

$$x\in (-\infty,\frac{1}{2}]\cup [\frac{7}{2},\infty)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 4x s x-4.

$$4x^{2}-16x+7\geq 0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x+7=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 4 s a, -16 s b i 7 s c.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{16±12}{8}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{16±12}{8} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

Da bi umnožak bio ≥0, i x-\frac{7}{2} i x-\frac{1}{2} moraju biti ≤0 ili ≥0. Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{7}{2} i x-\frac{1}{2} ≤0.

$$x-\frac{7}{2}\leq 0 x-\frac{1}{2}\leq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\leq \frac{1}{2}.

$$x\leq \frac{1}{2}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{7}{2} i x-\frac{1}{2} ≥0.

$$x-\frac{1}{2}\geq 0 x-\frac{7}{2}\geq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\geq \frac{7}{2}.

$$x\geq \frac{7}{2}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\leq \frac{1}{2}\text{; }x\geq \frac{7}{2}$$