Riješi 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Izračunaj n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Oduzmite 1141 od obiju strana.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Oduzmite 1141 od 1 da biste dobili -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao n^{2}+an+bn-380. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b pozitivan, pozitivni broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -380 proizvoda.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Rješenje je par koji daje zbroj 1.

$$a=-19 b=20$$

Izrazite n^{2}+n-380 kao \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Faktor n u prvom i 20 u drugoj grupi.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Faktor uobičajeni termin n-19 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite n-19=0 i n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Oduzmite 1141 od obiju strana jednadžbe.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Oduzimanje 1141 samog od sebe dobiva se 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Oduzmite 1141 od 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, 3 s b i -1140 s c.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Dodaj 9 broju 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Sada riješite jednadžbu n=\frac{-3±117}{6} kad je ± plus. Dodaj -3 broju 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Podijelite 114 s 6.

$$n=19$$

Sada riješite jednadžbu n=\frac{-3±117}{6} kad je ± minus. Oduzmite 117 od -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Podijelite -120 s 6.

$$n=-20$$

Jednadžba je sada riješena.

$$n=19 n=-20$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Oduzmite 1 od obiju strana jednadžbe.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Oduzimanje 1 samog od sebe dobiva se 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Oduzmite 1 od 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Podijelite 3 s 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Podijelite 1140 s 3.

$$n^{2}+n=380$$

Podijelite 1, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili \frac{1}{2}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte \frac{1}{2} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte \frac{1}{2} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Dodaj 380 broju \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Faktor n^{2}+n+\frac{1}{4}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Pojednostavnite.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Oduzmite \frac{1}{2} od obiju strana jednadžbe.

$$n=19 n=-20$$