Riješi 2x^2-7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - 7 x - 15 = 0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=5$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 2x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -30 proizvoda.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rješenje je par koji daje zbroj -7.

$$a=-10 b=3$$

Izrazite 2x^{2}-7x-15 kao \left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Faktor 2x u prvom i 3 u drugoj grupi.

$$2x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-5 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i 2x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{2}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$2x^{2}-7x-15=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 2 s a, -7 s b i -15 s c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrirajte -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Dodaj 49 broju 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 2}$$

Broj suprotan broju -7 jest 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{7±13}{4}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{7±13}{4} kad je ± plus. Dodaj 7 broju 13.

$$x=\frac{20}{4}$$

Podijelite 20 s 4.

$$x=5$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{7±13}{4} kad je ± minus. Oduzmite 13 od 7.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Skratite razlomak \frac{-6}{4} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=5 x=-\frac{3}{2}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-7x-15=0$$

Dodajte 15 objema stranama jednadžbe.

$$2x^{2}-7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanje -15 samog od sebe dobiva se 0.

$$2x^{2}-7x=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$2x^{2}-7x=15$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=\frac{15}{2}$$

Dijeljenjem s 2 poništava se množenje s 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Podijelite -\frac{7}{2}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{7}{4}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{7}{4} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{7}{4} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Dodajte \frac{15}{2} broju \frac{49}{16} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Dodajte \frac{7}{4} objema stranama jednadžbe.

$$x=5 x=-\frac{3}{2}$$