Riješi -6y+2x=12text{and}x-3(x+2)=2y-8x

$$- 6 y + 2 x = 12 \text { and } x - 3 ( x + 2 ) = 2 y - 8 x$$

Izračunaj y, x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$y = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} = -1,875$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili -3 s x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinirajte x i -3x da biste dobili -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Oduzmite 2y od obiju strana.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinirajte -2x i 8x da biste dobili 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodajte 6 na obje strane. Sve plus nula jednako je sebi.

$$6x-2y=6$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$-6y+2x=12$$

Oduzmite 2x od obiju strana jednadžbe.

$$-6y=-2x+12$$

Podijelite obje strane sa -6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-2x+12\right)$$

Pomnožite -\frac{1}{6} i -2x+12.

$$y=\frac{1}{3}x-2$$

Supstituirajte \frac{x}{3}-2 s y u drugoj jednadžbi, -2y+6x=6.

$$-2\left(\frac{1}{3}x-2\right)+6x=6$$

Pomnožite -2 i \frac{x}{3}-2.

$$-\frac{2}{3}x+4+6x=6$$

Dodaj -\frac{2x}{3} broju 6x.

$$\frac{16}{3}x+4=6$$

Oduzmite 4 od obiju strana jednadžbe.

$$\frac{16}{3}x=2$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{16}{3}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$x=\frac{3}{8}$$

Supstituirajte \frac{3}{8} s x u izrazu y=\frac{1}{3}x-2. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}-2$$

Pomnožite \frac{1}{3} i \frac{3}{8} tako da pomnožite brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$y=\frac{1}{8}-2$$

Dodaj -2 broju \frac{1}{8}.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili -3 s x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinirajte x i -3x da biste dobili -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Oduzmite 2y od obiju strana.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinirajte -2x i 8x da biste dobili 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodajte 6 na obje strane. Sve plus nula jednako je sebi.

$$6x-2y=6$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\times 12+\frac{1}{16}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 12+\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{8}\\\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili -3 s x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinirajte x i -3x da biste dobili -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Oduzmite 2y od obiju strana.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinirajte -2x i 8x da biste dobili 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodajte 6 na obje strane. Sve plus nula jednako je sebi.

$$6x-2y=6$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Da biste izjednačili -6y i -2y, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s -2 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s -6.

$$-2\left(-6\right)y-2\times 2x=-2\times 12,-6\left(-2\right)y-6\times 6x=-6\times 6$$

Pojednostavnite.

$$12y-4x=-24,12y-36x=-36$$

Oduzmite 12y-36x=-36 od 12y-4x=-24 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$12y-12y-4x+36x=-24+36$$

Dodaj 12y broju -12y. Uvjeti 12y i -12y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-4x+36x=-24+36$$

Dodaj -4x broju 36x.

$$32x=-24+36$$

Dodaj -24 broju 36.

$$32x=12$$

Podijelite obje strane sa 32.

$$x=\frac{3}{8}$$

Supstituirajte \frac{3}{8} s x u izrazu -2y+6x=6. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$-2y+6\times \frac{3}{8}=6$$

Pomnožite 6 i \frac{3}{8}.

$$-2y+\frac{9}{4}=6$$

Oduzmite \frac{9}{4} od obiju strana jednadžbe.

$$-2y=\frac{15}{4}$$

Podijelite obje strane sa -2.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$