Riješi -3x^2-11x-10>0

$$- 3 x ^ { 2 } - 11 x - 10 > 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Pomnožite nejednakost s -1 da bi koeficijent najveće potencije u izrazu -3x^{2}-11x-10 bio pozitivan. Budući da je -1 negativan, smjer nejednadžbe je promijenjen.

$$3x^{2}+11x+10<0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+11x+10=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 3 s a, 11 s b i 10 s c.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{-11±1}{6}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{-11±1}{6} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=-\frac{5}{3} x=-2$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$3\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x+\frac{5}{3} i x+2 moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x+\frac{5}{3} pozitivan, a x+2 negativan.

$$x+\frac{5}{3}>0 x+2<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x+2 pozitivan, a x+\frac{5}{3} negativan.

$$x+2>0 x+\frac{5}{3}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right).

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$