Riješi (4x-3)^2=64

$$( 4 x - 3 ) ^ { 2 } = 64$$

Izračunaj x

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Oduzmite 64 od obiju strana.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

Oduzmite 64 od 9 da biste dobili -55.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 16x^{2}+ax+bx-55. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-24 ab=16\left(-55\right)=-880$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -880 proizvoda.

$$1,-880 2,-440 4,-220 5,-176 8,-110 10,-88 11,-80 16,-55 20,-44 22,-40$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-880=-879 2-440=-438 4-220=-216 5-176=-171 8-110=-102 10-88=-78 11-80=-69 16-55=-39 20-44=-24 22-40=-18$$

Rješenje je par koji daje zbroj -24.

$$a=-44 b=20$$

Izrazite 16x^{2}-24x-55 kao \left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right).

$$\left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right)$$

Faktor 4x u prvom i 5 u drugoj grupi.

$$4x\left(4x-11\right)+5\left(4x-11\right)$$

Faktor uobičajeni termin 4x-11 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(4x-11\right)\left(4x+5\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 4x-11=0 i 4x+5=0.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Oduzmite 64 od obiju strana.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

Oduzmite 64 od 9 da biste dobili -55.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 16 s a, -24 s b i -55 s c.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrirajte -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Pomnožite -4 i 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Pomnožite -64 i -55.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+3520}}{2\times 16}$$

Dodaj 576 broju 3520.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{4096}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 4096.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±64}{2\times 16}$$

Broj suprotan broju -24 jest 24.

$$x=\frac{24±64}{2\times 16}$$

Pomnožite 2 i 16.

$$x=\frac{24±64}{32}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{24±64}{32} kad je ± plus. Dodaj 24 broju 64.

$$x=\frac{88}{32}$$

Skratite razlomak \frac{88}{32} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 8.

$$x=\frac{11}{4}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{24±64}{32} kad je ± minus. Oduzmite 64 od 24.

$$x=-\frac{40}{32}$$

Skratite razlomak \frac{-40}{32} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 8.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Koraci za računanje kvadrata

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Oduzmite 9 od obiju strana.

$$16x^{2}-24x=64-9$$

Oduzmite 9 od 64 da biste dobili 55.

$$16x^{2}-24x=55$$

Podijelite obje strane sa 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=\frac{55}{16}$$

Dijeljenjem s 16 poništava se množenje s 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=\frac{55}{16}$$

Skratite razlomak \frac{-24}{16} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{55}{16}$$

Podijelite -\frac{3}{2}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{3}{4}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{3}{4} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{55}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{3}{4} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{55+9}{16}$$

Dodajte \frac{55}{16} broju \frac{9}{16} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=4$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=4$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{3}{4}=2 x-\frac{3}{4}=-2$$

Dodajte \frac{3}{4} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$