Riješi ∫ x^4(4x^2-3)^2

$$\int x ^ { 4 } ( 4 x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 2 }$$

Izračunaj

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}+С$$

Koraci rješenja

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(4x^{2}-3\right)^{2}.

$$\int x^{4}\left(16\left(x^{2}\right)^{2}-24x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Da biste izračunali potenciju potencije, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$\int x^{4}\left(16x^{4}-24x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x^{4} s 16x^{4}-24x^{2}+9.

$$\int 16x^{8}-24x^{6}+9x^{4}\mathrm{d}x$$

Integrirajte zbroj termina po terminu.

$$\int 16x^{8}\mathrm{d}x+\int -24x^{6}\mathrm{d}x+\int 9x^{4}\mathrm{d}x$$

Izbacite konstantu u svakom od izraza.

$$16\int x^{8}\mathrm{d}x-24\int x^{6}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{8}\mathrm{d}x s \frac{x^{9}}{9}. Pomnožite 16 i \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-24\int x^{6}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{6}\mathrm{d}x s \frac{x^{7}}{7}. Pomnožite -24 i \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{4}\mathrm{d}x s \frac{x^{5}}{5}. Pomnožite 9 i \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}$$

Pojednostavnite.

$$\frac{9x^{5}}{5}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{16x^{9}}{9}$$

Ako je F\left(x\right) antiderivat f\left(x\right), skup svih antiderivata f\left(x\right) je dan u F\left(x\right)+C. Stoga dodajte konstantu integracije C\in \mathrm{R} rezultatu.

$$\frac{9x^{5}}{5}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{16x^{9}}{9}+С$$

Diferenciraj u odnosu na x

$$x^{4}\left(4x^{2}-3\right)^{2}$$