Riješi frac{5-sqrt{5}}{sqrt{15}-sqrt{3}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 15 } - \sqrt { 3 } }$$

Izračunaj

$$\frac{\sqrt{15}}{3}\approx 1,290994449$$

Koraci rješenja

Racionalizirajte nazivnik \frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{15}-\sqrt{3}} množenje brojnik i nazivnik \sqrt{15}+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{15}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}\right)}$$

Razmotrite \left(\sqrt{15}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}\right). Umnožak se može pretvoriti u razliku kvadrata pomoću sljedećeg pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{15}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrirajte \sqrt{15}. Kvadrirajte \sqrt{3}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}\right)}{15-3}$$

Oduzmite 3 od 15 da biste dobili 12.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}\right)}{12}$$

Primijenite svojstvo distributivnosti množenjem svakog dijela izraza 5-\sqrt{5} sa svakim dijelom izraza \sqrt{15}+\sqrt{3}.

$$\frac{5\sqrt{15}+5\sqrt{3}-\sqrt{5}\sqrt{15}-\sqrt{5}\sqrt{3}}{12}$$

Rastavite 15=5\times 3 na faktore. Ponovno napišite kvadratni korijen proizvoda \sqrt{5\times 3} kao umnožak kvadrata korijena \sqrt{5}\sqrt{3}.

$$\frac{5\sqrt{15}+5\sqrt{3}-\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{3}-\sqrt{5}\sqrt{3}}{12}$$

Pomnožite \sqrt{5} i \sqrt{5} da biste dobili 5.

$$\frac{5\sqrt{15}+5\sqrt{3}-5\sqrt{3}-\sqrt{5}\sqrt{3}}{12}$$

Kombinirajte 5\sqrt{3} i -5\sqrt{3} da biste dobili 0.

$$\frac{5\sqrt{15}-\sqrt{5}\sqrt{3}}{12}$$

Da biste pomnožite \sqrt{5} i \sqrt{3}, pomnožite brojeve u kvadratnim korijenu.

$$\frac{5\sqrt{15}-\sqrt{15}}{12}$$

Kombinirajte 5\sqrt{15} i -\sqrt{15} da biste dobili 4\sqrt{15}.

$$\frac{4\sqrt{15}}{12}$$

Podijelite 4\sqrt{15} s 12 da biste dobili \frac{1}{3}\sqrt{15}.

$$\frac{1}{3}\sqrt{15}$$