Riješi frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Izračunaj b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Koraci rješavanja linearne jednadžbe

Racionalizirajte nazivnik \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} množenje brojnik i nazivnik \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Razmotrite \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Umnožak se može pretvoriti u razliku kvadrata pomoću sljedećeg pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrirajte \sqrt{3}. Kvadrirajte 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Oduzmite 1 od 3 da biste dobili 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Pomnožite \sqrt{3}-1 i \sqrt{3}-1 da biste dobili \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrat od \sqrt{3} je 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Dodajte 3 broju 1 da biste dobili 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Podijelite svaki izraz jednadžbe 4-2\sqrt{3} s 2 da biste dobili 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Zamijenite strane tako da svi izrazi s nepoznanicama budu s lijeve strane.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Oduzmite a od obiju strana.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Jednadžba je u standardnom obliku.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Podijelite obje strane sa \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Dijeljenjem s \sqrt{3} poništava se množenje s \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Podijelite -\sqrt{3}-a+2 s \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Izračunaj a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$