y=4y^2-3 का समाधान करें

$$y = 4 y ^ { 2 } - 3$$

y के लिए हल करें

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$y=1$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 4y^{2} घटाएँ.

$$y-4y^{2}=-3$$

दोनों ओर 3 जोड़ें.

$$y-4y^{2}+3=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$-4y^{2}+y+3=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -4y^{2}+ay+by+3 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=1 ab=-4\times 3=-12$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -12 देते हैं.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

हल वह जोड़ी है जो 1 योग देती है.

$$a=4 b=-3$$

-4y^{2}+y+3 को \left(-4y^{2}+4y\right)+\left(-3y+3\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-4y^{2}+4y\right)+\left(-3y+3\right)$$

पहले समूह में 4y के और दूसरे समूह में 3 को गुणनखंड बनाएँ.

$$4y\left(-y+1\right)+3\left(-y+1\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद -y+1 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(-y+1\right)\left(4y+3\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, -y+1=0 और 4y+3=0 को हल करें.

$$y=1 y=-\frac{3}{4}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 4y^{2} घटाएँ.

$$y-4y^{2}=-3$$

दोनों ओर 3 जोड़ें.

$$y-4y^{2}+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-4y^{2}+y+3=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -4, b के लिए 1 और द्विघात सूत्र में c के लिए 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

वर्गमूल 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

-4 को -4 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

16 को 3 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\left(-4\right)}$$

1 में 48 को जोड़ें.

$$y=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\left(-4\right)}$$

49 का वर्गमूल लें.

$$y=\frac{-1±7}{2\left(-4\right)}$$

2 को -4 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-1±7}{-8}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण y=\frac{-1±7}{-8} को हल करें. -1 में 7 को जोड़ें.

$$y=\frac{6}{-8}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{6}{-8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y=-\frac{3}{4}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण y=\frac{-1±7}{-8} को हल करें. -1 में से 7 को घटाएं.

$$y=-\frac{8}{-8}$$

-8 को -8 से विभाजित करें.

$$y=1$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$y=-\frac{3}{4} y=1$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से 4y^{2} घटाएँ.

$$y-4y^{2}=-3$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-4y^{2}+y=-3$$

दोनों ओर -4 से विभाजन करें.

$$\frac{-4y^{2}+y}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

-4 से विभाजित करना -4 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$y^{2}+\frac{1}{-4}y=-\frac{3}{-4}$$

-4 को 1 से विभाजित करें.

$$y^{2}-\frac{1}{4}y=-\frac{3}{-4}$$

-4 को -3 से विभाजित करें.

$$y^{2}-\frac{1}{4}y=\frac{3}{4}$$

-\frac{1}{8} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{1}{4} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{8} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$y^{2}-\frac{1}{4}y+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{8} का वर्ग करें.

$$y^{2}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{3}{4} में \frac{1}{64} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$y^{2}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

गुणक y^{2}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{64}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(y-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

सरल बनाएं.

$$y-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{8} जोड़ें.

$$y=1 y=-\frac{3}{4}$$