x^4+6x^3-5x^2-42x+40 का समाधान करें

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

गुणनखंड निकालें

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

हल करने वाले चरण

तर्कसंगत रूट प्रमेय के द्वारा, बहुपद की सभी तर्कसंगत जड़ें \frac{p}{q} रूप में हैं, जहाँ p निरंतर शब्द 40 को विभाजित करती है और q अग्रणी गुणांक 1 को विभाजित करती है. ऐसा ही एक रूट -5 है. बहुपद को x+5 द्वारा विभाजित करके फ़ैक्टर करें.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

x^{3}+x^{2}-10x+8 पर विचार करें. तर्कसंगत रूट प्रमेय के द्वारा, बहुपद की सभी तर्कसंगत जड़ें \frac{p}{q} रूप में हैं, जहाँ p निरंतर शब्द 8 को विभाजित करती है और q अग्रणी गुणांक 1 को विभाजित करती है. ऐसा ही एक रूट -4 है. बहुपद को x+4 द्वारा विभाजित करके फ़ैक्टर करें.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

x^{2}-3x+2 पर विचार करें. समूहीकरण द्वारा व्यंजक को फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, व्यंजक को x^{2}+ax+bx+2 के रूप में फिर से लिखा जाना आवश्यक है. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूँकि a+b नकारात्मक है, a और b दोनों नकारात्मक हैं. केवल ऐसी जोड़ी सिस्टम समाधान है.

$$a=-2 b=-1$$

x^{2}-3x+2 को \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में -1 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-2 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

पूर्ण फ़ैक्टर व्यंजक को फिर से लिखें.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

मूल्यांकन करें

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$