x^2-50x-5000=0 का समाधान करें

$$x ^ { 2 } - 50 x - 5000 = 0$$

x के लिए हल करें

$$x=-50$$

$$x=100$$

फैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, सूत्र x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) का उपयोग करके x^{2}-50x-5000 फ़ैक्टर. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-50 ab=-5000$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -5000 देते हैं.

$$1,-5000 2,-2500 4,-1250 5,-1000 8,-625 10,-500 20,-250 25,-200 40,-125 50,-100$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-5000=-4999 2-2500=-2498 4-1250=-1246 5-1000=-995 8-625=-617 10-500=-490 20-250=-230 25-200=-175 40-125=-85 50-100=-50$$

हल वह जोड़ी है जो -50 योग देती है.

$$a=-100 b=50$$

प्राप्त किए गए मानों का उपयोग कर \left(x+a\right)\left(x+b\right) फ़ैक्टरी व्यंजक को फिर से लिखें.

$$\left(x-100\right)\left(x+50\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-100=0 और x+50=0 को हल करें.

$$x=100 x=-50$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-5000 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-50 ab=1\left(-5000\right)=-5000$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -5000 देते हैं.

$$1,-5000 2,-2500 4,-1250 5,-1000 8,-625 10,-500 20,-250 25,-200 40,-125 50,-100$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-5000=-4999 2-2500=-2498 4-1250=-1246 5-1000=-995 8-625=-617 10-500=-490 20-250=-230 25-200=-175 40-125=-85 50-100=-50$$

हल वह जोड़ी है जो -50 योग देती है.

$$a=-100 b=50$$

x^{2}-50x-5000 को \left(x^{2}-100x\right)+\left(50x-5000\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-100x\right)+\left(50x-5000\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 50 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-100\right)+50\left(x-100\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-100 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-100\right)\left(x+50\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-100=0 और x+50=0 को हल करें.

$$x=100 x=-50$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$x^{2}-50x-5000=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 1, b के लिए -50 और द्विघात सूत्र में c के लिए -5000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\left(-5000\right)}}{2}$$

वर्गमूल -50.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\left(-5000\right)}}{2}$$

-4 को -5000 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+20000}}{2}$$

2500 में 20000 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{22500}}{2}$$

22500 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±150}{2}$$

-50 का विपरीत 50 है.

$$x=\frac{50±150}{2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{50±150}{2} को हल करें. 50 में 150 को जोड़ें.

$$x=\frac{200}{2}$$

2 को 200 से विभाजित करें.

$$x=100$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{50±150}{2} को हल करें. 50 में से 150 को घटाएं.

$$x=-\frac{100}{2}$$

2 को -100 से विभाजित करें.

$$x=-50$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=100 x=-50$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$x^{2}-50x-5000=0$$

समीकरण के दोनों ओर 5000 जोड़ें.

$$x^{2}-50x-5000-\left(-5000\right)=-\left(-5000\right)$$

-5000 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$x^{2}-50x=-\left(-5000\right)$$

0 में से -5000 को घटाएं.

$$x^{2}-50x=5000$$

-25 प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -50 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -25 का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-50x+\left(-25\right)^{2}=5000+\left(-25\right)^{2}$$

वर्गमूल -25.

$$x^{2}-50x+625=5000+625$$

5000 में 625 को जोड़ें.

$$x^{2}-50x+625=5625$$

गुणक x^{2}-50x+625. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-25\right)^{2}=5625$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-25\right)^{2}}=\sqrt{5625}$$

सरल बनाएं.

$$x-25=75 x-25=-75$$

समीकरण के दोनों ओर 25 जोड़ें.

$$x=100 x=-50$$