x^2-2x-5<0 का समाधान करें

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$x^{2}-2x-5=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -2, और c के लिए -5 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

समीकरण x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

गुणनफल को ऋणात्मक होने के लिए, x-\left(\sqrt{6}+1\right) और x-\left(1-\sqrt{6}\right) को विपरीत चिह्न होना चाहिए. जब x-\left(\sqrt{6}+1\right) धनात्मक हो और x-\left(1-\sqrt{6}\right) ऋणात्मक हो, तो केस पर विचार करे.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

किसी भी x के लिए यह असत्य है.

$$x\in \emptyset$$

जब x-\left(1-\sqrt{6}\right) धनात्मक हो और x-\left(\sqrt{6}+1\right) ऋणात्मक हो, तो केस पर विचार करे.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right) है.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$