x^2+50x-30000=0 का समाधान करें

$$x ^ { 2 } + 50 x - 30000 = 0$$

x के लिए हल करें

$$x=-200$$

$$x=150$$

फैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, फ़ैक्टर x^{2}+50x-30000 सूत्र x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) का उपयोग कर रहा है. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=50 ab=-30000$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -30000 देते हैं.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

हल वह जोड़ी है जो 50 योग देती है.

$$a=-150 b=200$$

प्राप्त किए गए मानों का उपयोग कर \left(x+a\right)\left(x+b\right) फ़ैक्टरी व्यंजक को फिर से लिखें.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, x-150=0 और x+200=0 को हल करें.

$$x=150 x=-200$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-30000 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=50 ab=1\left(-30000\right)=-30000$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -30000 देते हैं.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

हल वह जोड़ी है जो 50 योग देती है.

$$a=-150 b=200$$

x^{2}+50x-30000 को \left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 200 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-150\right)+200\left(x-150\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-150 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, x-150=0 और x+200=0 को हल करें.

$$x=150 x=-200$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 1, b के लिए 50 और द्विघात सूत्र में c के लिए -30000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-30000\right)}}{2}$$

वर्गमूल 50.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-30000\right)}}{2}$$

-4 को -30000 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+120000}}{2}$$

2500 में 120000 को जोड़ें.

$$x=\frac{-50±\sqrt{122500}}{2}$$

122500 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-50±350}{2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-50±350}{2} को हल करें. -50 में 350 को जोड़ें.

$$x=\frac{300}{2}$$

2 को 300 से विभाजित करें.

$$x=150$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-50±350}{2} को हल करें. -50 में से 350 को घटाएं.

$$x=-\frac{400}{2}$$

2 को -400 से विभाजित करें.

$$x=-200$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=150 x=-200$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

समीकरण के दोनों ओर 30000 जोड़ें.

$$x^{2}+50x-30000-\left(-30000\right)=-\left(-30000\right)$$

-30000 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$x^{2}+50x=-\left(-30000\right)$$

0 में से -30000 को घटाएं.

$$x^{2}+50x=30000$$

25 प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 50 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर 25 का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+50x+25^{2}=30000+25^{2}$$

वर्गमूल 25.

$$x^{2}+50x+625=30000+625$$

30000 में 625 को जोड़ें.

$$x^{2}+50x+625=30625$$

फ़ैक्‍टर x^{2}+50x+625. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.

$$\left(x+25\right)^{2}=30625$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+25\right)^{2}}=\sqrt{30625}$$

सरल बनाएं.

$$x+25=175 x+25=-175$$

समीकरण के दोनों ओर से 25 घटाएं.

$$x=150 x=-200$$