x^2+30x-18000=0 का समाधान करें

$$x ^ { 2 } + 30 x - 18000 = 0$$

x के लिए हल करें

$$x=-150$$

$$x=120$$

फैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, फ़ैक्टर x^{2}+30x-18000 सूत्र x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) का उपयोग कर रहा है. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=30 ab=-18000$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -18000 देते हैं.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

हल वह जोड़ी है जो 30 योग देती है.

$$a=-120 b=150$$

प्राप्त किए गए मानों का उपयोग कर \left(x+a\right)\left(x+b\right) फ़ैक्टरी व्यंजक को फिर से लिखें.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, x-120=0 और x+150=0 को हल करें.

$$x=120 x=-150$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-18000 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=30 ab=1\left(-18000\right)=-18000$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -18000 देते हैं.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

हल वह जोड़ी है जो 30 योग देती है.

$$a=-120 b=150$$

x^{2}+30x-18000 को \left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 150 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-120\right)+150\left(x-120\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-120 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, x-120=0 और x+150=0 को हल करें.

$$x=120 x=-150$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 1, b के लिए 30 और द्विघात सूत्र में c के लिए -18000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-18000\right)}}{2}$$

वर्गमूल 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-18000\right)}}{2}$$

-4 को -18000 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+72000}}{2}$$

900 में 72000 को जोड़ें.

$$x=\frac{-30±\sqrt{72900}}{2}$$

72900 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-30±270}{2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-30±270}{2} को हल करें. -30 में 270 को जोड़ें.

$$x=\frac{240}{2}$$

2 को 240 से विभाजित करें.

$$x=120$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-30±270}{2} को हल करें. -30 में से 270 को घटाएं.

$$x=-\frac{300}{2}$$

2 को -300 से विभाजित करें.

$$x=-150$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=120 x=-150$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

समीकरण के दोनों ओर 18000 जोड़ें.

$$x^{2}+30x-18000-\left(-18000\right)=-\left(-18000\right)$$

-18000 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$x^{2}+30x=-\left(-18000\right)$$

0 में से -18000 को घटाएं.

$$x^{2}+30x=18000$$

15 प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 30 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर 15 का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+30x+15^{2}=18000+15^{2}$$

वर्गमूल 15.

$$x^{2}+30x+225=18000+225$$

18000 में 225 को जोड़ें.

$$x^{2}+30x+225=18225$$

फ़ैक्‍टर x^{2}+30x+225. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.

$$\left(x+15\right)^{2}=18225$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{18225}$$

सरल बनाएं.

$$x+15=135 x+15=-135$$

समीकरण के दोनों ओर से 15 घटाएं.

$$x=120 x=-150$$