p^-2+11p^-1-12=0 का समाधान करें

$$p ^ { - 2 } + 11 p ^ { - 1 } - 12 = 0$$

p के लिए हल करें

$$p=1$$

$$p=-\frac{1}{12}\approx -0.083333333$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-12+11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=0$$

चर p, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को p से गुणा करें.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+pp^{-2}=0$$

समान आधार की घातों को गुणा करने के लिए उनके घातांकों को जोड़ें. -1 प्राप्त करने के लिए 1 और -2 को जोड़ें.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+p^{-1}=0$$

11 प्राप्त करने के लिए 11 और 1 का गुणा करें.

$$p\left(-12\right)+11+p^{-1}=0$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-12p+11+\frac{1}{p}=0$$

चर p, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को p से गुणा करें.

$$-12pp+p\times 11+1=0$$

p^{2} प्राप्त करने के लिए p और p का गुणा करें.

$$-12p^{2}+p\times 11+1=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -12p^{2}+ap+bp+1 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -12 देते हैं.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

हल वह जोड़ी है जो 11 योग देती है.

$$a=12 b=-1$$

-12p^{2}+11p+1 को \left(-12p^{2}+12p\right)+\left(-p+1\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-12p^{2}+12p\right)+\left(-p+1\right)$$

-12p^{2}+12p में 12p को गुणनखंड बनाएँ.

$$12p\left(-p+1\right)-p+1$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद -p+1 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(-p+1\right)\left(12p+1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, -p+1=0 और 12p+1=0 को हल करें.

$$p=1 p=-\frac{1}{12}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-12+11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=0$$

चर p, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को p से गुणा करें.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+pp^{-2}=0$$

समान आधार की घातों को गुणा करने के लिए उनके घातांकों को जोड़ें. -1 प्राप्त करने के लिए 1 और -2 को जोड़ें.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+p^{-1}=0$$

11 प्राप्त करने के लिए 11 और 1 का गुणा करें.

$$p\left(-12\right)+11+p^{-1}=0$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-12p+11+\frac{1}{p}=0$$

चर p, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को p से गुणा करें.

$$-12pp+p\times 11+1=0$$

p^{2} प्राप्त करने के लिए p और p का गुणा करें.

$$-12p^{2}+p\times 11+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-12p^{2}+11p+1=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -12, b के लिए 11 और द्विघात सूत्र में c के लिए 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-12\right)}}{2\left(-12\right)}$$

वर्गमूल 11.

$$p=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-12\right)}}{2\left(-12\right)}$$

-4 को -12 बार गुणा करें.

$$p=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-12\right)}$$

121 में 48 को जोड़ें.

$$p=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-12\right)}$$

169 का वर्गमूल लें.

$$p=\frac{-11±13}{2\left(-12\right)}$$

2 को -12 बार गुणा करें.

$$p=\frac{-11±13}{-24}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण p=\frac{-11±13}{-24} को हल करें. -11 में 13 को जोड़ें.

$$p=\frac{2}{-24}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{2}{-24} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$p=-\frac{1}{12}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण p=\frac{-11±13}{-24} को हल करें. -11 में से 13 को घटाएं.

$$p=-\frac{24}{-24}$$

-24 को -24 से विभाजित करें.

$$p=1$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$p=-\frac{1}{12} p=1$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर 12 जोड़ें. किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने पर परिणाम वही आता है.

$$p^{-2}+11p^{-1}=12$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=12$$

चर p, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को p से गुणा करें.

$$11\times 1+pp^{-2}=12p$$

समान आधार की घातों को गुणा करने के लिए उनके घातांकों को जोड़ें. -1 प्राप्त करने के लिए 1 और -2 को जोड़ें.

$$11\times 1+p^{-1}=12p$$

11 प्राप्त करने के लिए 11 और 1 का गुणा करें.

$$11+p^{-1}=12p$$

दोनों ओर से 12p घटाएँ.

$$11+p^{-1}-12p=0$$

दोनों ओर से 11 घटाएँ. शून्य में से कुछ भी घटाने पर इसका ऋणात्मक मान प्राप्त होता है.

$$p^{-1}-12p=-11$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-12p+\frac{1}{p}=-11$$

चर p, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को p से गुणा करें.

$$-12pp+1=-11p$$

p^{2} प्राप्त करने के लिए p और p का गुणा करें.

$$-12p^{2}+1=-11p$$

दोनों ओर 11p जोड़ें.

$$-12p^{2}+1+11p=0$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ. शून्य में से कुछ भी घटाने पर इसका ऋणात्मक मान प्राप्त होता है.

$$-12p^{2}+11p=-1$$

दोनों ओर -12 से विभाजन करें.

$$\frac{-12p^{2}+11p}{-12}=-\frac{1}{-12}$$

-12 से विभाजित करना -12 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$p^{2}+\frac{11}{-12}p=-\frac{1}{-12}$$

-12 को 11 से विभाजित करें.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p=-\frac{1}{-12}$$

-12 को -1 से विभाजित करें.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p=\frac{1}{12}$$

-\frac{11}{24} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{11}{12} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{11}{24} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{1}{12}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{11}{24} का वर्ग करें.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}=\frac{1}{12}+\frac{121}{576}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{1}{12} में \frac{121}{576} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}=\frac{169}{576}$$

गुणक p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(p-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(p-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

सरल बनाएं.

$$p-\frac{11}{24}=\frac{13}{24} p-\frac{11}{24}=-\frac{13}{24}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{11}{24} जोड़ें.

$$p=1 p=-\frac{1}{12}$$