n^2-4019n+2009^2leq0 का समाधान करें

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

n के लिए हल करें

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

2 की घात की 2009 से गणना करें और 4036081 प्राप्त करें.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -4019, और c के लिए 4036081 प्रतिस्थापित करें.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

परिकलन करें.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

समीकरण n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

गुणनफल को ≤0 होने के लिए, n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} और n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} में से किसी एक मान को ≥0 होना चाहिए और दूसरे को ≤0 होना चाहिए. जब n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 और n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0 होने पर मामले पर विचार करें.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

किसी भी n के लिए यह असत्य है.

$$n\in \emptyset$$

जब n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 और n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 होने पर मामले पर विचार करें.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right] है.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$