n+1=n^2-1 का समाधान करें

$$n + 1 = n ^ { 2 } - 1$$

n के लिए हल करें

$$n=-1$$

$$n=2$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से n^{2} घटाएँ.

$$n+1-n^{2}=-1$$

दोनों ओर 1 जोड़ें.

$$n+1-n^{2}+1=0$$

2 को प्राप्त करने के लिए 1 और 1 को जोड़ें.

$$n+2-n^{2}=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$-n^{2}+n+2=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -n^{2}+an+bn+2 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. केवल ऐसी जोड़ी सिस्टम समाधान है.

$$a=2 b=-1$$

-n^{2}+n+2 को \left(-n^{2}+2n\right)+\left(-n+2\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-n^{2}+2n\right)+\left(-n+2\right)$$

पहले समूह में -n के और दूसरे समूह में -1 को गुणनखंड बनाएँ.

$$-n\left(n-2\right)-\left(n-2\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद n-2 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(n-2\right)\left(-n-1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, n-2=0 और -n-1=0 को हल करें.

$$n=2 n=-1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से n^{2} घटाएँ.

$$n+1-n^{2}=-1$$

दोनों ओर 1 जोड़ें.

$$n+1-n^{2}+1=0$$

2 को प्राप्त करने के लिए 1 और 1 को जोड़ें.

$$n+2-n^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-n^{2}+n+2=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -1, b के लिए 1 और द्विघात सूत्र में c के लिए 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

वर्गमूल 1.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

-4 को -1 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

4 को 2 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

1 में 8 को जोड़ें.

$$n=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

9 का वर्गमूल लें.

$$n=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

2 को -1 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-1±3}{-2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण n=\frac{-1±3}{-2} को हल करें. -1 में 3 को जोड़ें.

$$n=\frac{2}{-2}$$

-2 को 2 से विभाजित करें.

$$n=-1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण n=\frac{-1±3}{-2} को हल करें. -1 में से 3 को घटाएं.

$$n=-\frac{4}{-2}$$

-2 को -4 से विभाजित करें.

$$n=2$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$n=-1 n=2$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से n^{2} घटाएँ.

$$n+1-n^{2}=-1$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$n-n^{2}=-1-1$$

-2 प्राप्त करने के लिए 1 में से -1 घटाएं.

$$n-n^{2}=-2$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-n^{2}+n=-2$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$\frac{-n^{2}+n}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

-1 से विभाजित करना -1 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$n^{2}+\frac{1}{-1}n=-\frac{2}{-1}$$

-1 को 1 से विभाजित करें.

$$n^{2}-n=-\frac{2}{-1}$$

-1 को -2 से विभाजित करें.

$$n^{2}-n=2$$

-\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{2} का वर्ग करें.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

2 में \frac{1}{4} को जोड़ें.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

गुणक n^{2}-n+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.

$$n=2 n=-1$$