f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cinR,quadf^prime(x)forallf(x) का समाधान करें

$$f ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) , a , b , c \in R , \quad f ^ { \prime } ( x ) \forall f ( x )$$

a के लिए हल करें (जटिल समाधान)

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{x\left(x^{2}-bx-cx+bc-f\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq b\\a\in \mathrm{C}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }b=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=b\text{ and }b\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

रैखिक समीकरण हल करने के लिए चरण

x-b से x-a गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x-c से x^{2}-xb-ax+ab गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

दोनों ओर से x^{3} घटाएँ.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

दोनों ओर x^{2}c जोड़ें.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

दोनों ओर bx^{2} जोड़ें.

$$bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}$$

दोनों ओर से bxc घटाएँ.

$$-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}-bxc$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-ax^{2}+abx+acx-abc=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

a को शामिल करने वाले सभी पदों को संयोजित करें.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

समीकरण मानक रूप में है.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=fx-bcx+cx^{2}+bx^{2}-x^{3}$$

दोनों ओर bx-bc-x^{2}+xc से विभाजन करें.

$$\frac{\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a}{-x^{2}+bx+cx-bc}=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

bx-bc-x^{2}+xc से विभाजित करना bx-bc-x^{2}+xc से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

bx-bc-x^{2}+xc को x\left(-x^{2}+bx+cx-bc+f\right) से विभाजित करें.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}$$

b के लिए हल करें (जटिल समाधान)

$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{x\left(x^{2}-ax-cx+ac-f\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq a\\b\in \mathrm{C}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }a=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=a\text{ and }a\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

रैखिक समीकरण हल करने के लिए चरण

x-b से x-a गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x-c से x^{2}-xb-ax+ab गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

दोनों ओर से x^{3} घटाएँ.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

दोनों ओर x^{2}c जोड़ें.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

दोनों ओर ax^{2} जोड़ें.

$$-bx^{2}+bxc+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}$$

दोनों ओर से axc घटाएँ.

$$-bx^{2}+bxc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}-axc$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-bx^{2}+abx+bcx-abc=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

b को शामिल करने वाले सभी पदों को संयोजित करें.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

समीकरण मानक रूप में है.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=fx-acx+cx^{2}+ax^{2}-x^{3}$$

दोनों ओर ax-ac-x^{2}+xc से विभाजन करें.

$$\frac{\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b}{-x^{2}+ax+cx-ac}=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

ax-ac-x^{2}+xc से विभाजित करना ax-ac-x^{2}+xc से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

ax-ac-x^{2}+xc को x\left(-x^{2}+ax+cx-ac+f\right) से विभाजित करें.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}$$

a के लिए हल करें

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{x\left(x^{2}-bx-cx+bc-f\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq b\\a\in \mathrm{R}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }b=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=b\text{ and }b\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

रैखिक समीकरण हल करने के लिए चरण

x-b से x-a गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x-c से x^{2}-xb-ax+ab गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

दोनों ओर से x^{3} घटाएँ.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

दोनों ओर x^{2}c जोड़ें.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

दोनों ओर bx^{2} जोड़ें.

$$bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}$$

दोनों ओर से bxc घटाएँ.

$$-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}-bxc$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-ax^{2}+abx+acx-abc=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

a को शामिल करने वाले सभी पदों को संयोजित करें.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

समीकरण मानक रूप में है.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=fx-bcx+cx^{2}+bx^{2}-x^{3}$$

दोनों ओर bx-bc-x^{2}+xc से विभाजन करें.

$$\frac{\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a}{-x^{2}+bx+cx-bc}=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

bx-bc-x^{2}+xc से विभाजित करना bx-bc-x^{2}+xc से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

bx-bc-x^{2}+xc को x\left(-x^{2}+bx+cx-bc+f\right) से विभाजित करें.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}$$

b के लिए हल करें

$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{x\left(x^{2}-ax-cx+ac-f\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq a\\b\in \mathrm{R}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }a=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=a\text{ and }a\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

रैखिक समीकरण हल करने के लिए चरण

x-b से x-a गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x-c से x^{2}-xb-ax+ab गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

दोनों ओर से x^{3} घटाएँ.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

दोनों ओर x^{2}c जोड़ें.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

दोनों ओर ax^{2} जोड़ें.

$$-bx^{2}+bxc+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}$$

दोनों ओर से axc घटाएँ.

$$-bx^{2}+bxc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}-axc$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-bx^{2}+abx+bcx-abc=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

b को शामिल करने वाले सभी पदों को संयोजित करें.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

समीकरण मानक रूप में है.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=fx-acx+cx^{2}+ax^{2}-x^{3}$$

दोनों ओर ax-ac-x^{2}+xc से विभाजन करें.

$$\frac{\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b}{-x^{2}+ax+cx-ac}=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

ax-ac-x^{2}+xc से विभाजित करना ax-ac-x^{2}+xc से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

ax-ac-x^{2}+xc को x\left(-x^{2}+ax+cx-ac+f\right) से विभाजित करें.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}$$