a^2-68a+225leq0 का समाधान करें

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

a के लिए हल करें

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$a^{2}-68a+225=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -68, और c के लिए 225 प्रतिस्थापित करें.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

परिकलन करें.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

समीकरण a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

गुणनफल को ≤0 होने के लिए, a-\left(7\sqrt{19}+34\right) और a-\left(34-7\sqrt{19}\right) में से किसी एक मान को ≥0 होना चाहिए और दूसरे को ≤0 होना चाहिए. जब a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 और a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0 होने पर मामले पर विचार करें.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

किसी भी a के लिए यह असत्य है.

$$a\in \emptyset$$

जब a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 और a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 होने पर मामले पर विचार करें.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right] है.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$