9y^2-12y+4=y^2 का समाधान करें

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

y के लिए हल करें

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=1$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से y^{2} घटाएँ.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

8y^{2} प्राप्त करने के लिए 9y^{2} और -y^{2} संयोजित करें.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

दोनों ओर 4 से विभाजन करें.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 2y^{2}+ay+by+1 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूँकि a+b नकारात्मक है, a और b दोनों नकारात्मक हैं. केवल ऐसी जोड़ी सिस्टम समाधान है.

$$a=-2 b=-1$$

2y^{2}-3y+1 को \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

पहले समूह में 2y के और दूसरे समूह में -1 को गुणनखंड बनाएँ.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद y-1 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, y-1=0 और 2y-1=0 को हल करें.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से y^{2} घटाएँ.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

8y^{2} प्राप्त करने के लिए 9y^{2} और -y^{2} संयोजित करें.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 8, b के लिए -12 और द्विघात सूत्र में c के लिए 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

वर्गमूल -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

-4 को 8 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

-32 को 4 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

144 में -128 को जोड़ें.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

16 का वर्गमूल लें.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

-12 का विपरीत 12 है.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

2 को 8 बार गुणा करें.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण y=\frac{12±4}{16} को हल करें. 12 में 4 को जोड़ें.

$$y=\frac{16}{16}$$

16 को 16 से विभाजित करें.

$$y=1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण y=\frac{12±4}{16} को हल करें. 12 में से 4 को घटाएं.

$$y=\frac{8}{16}$$

8 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{8}{16} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y=\frac{1}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से y^{2} घटाएँ.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

8y^{2} प्राप्त करने के लिए 9y^{2} और -y^{2} संयोजित करें.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

दोनों ओर से 4 घटाएँ. शून्य में से कुछ भी घटाने पर इसका ऋणात्मक मान प्राप्त होता है.

$$8y^{2}-12y=-4$$

दोनों ओर 8 से विभाजन करें.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

8 से विभाजित करना 8 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-12}{8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-4}{8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

-\frac{3}{4} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{3}{2} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{3}{4} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{3}{4} का वर्ग करें.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{1}{2} में \frac{9}{16} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

गुणक y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

सरल बनाएं.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{3}{4} जोड़ें.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$