9x^2-155x-500=0 का समाधान करें

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

x के लिए हल करें

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

$$x=20$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 9x^{2}+ax+bx-500 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -4500 देते हैं.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

हल वह जोड़ी है जो -155 योग देती है.

$$a=-180 b=25$$

9x^{2}-155x-500 को \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

पहले समूह में 9x के और दूसरे समूह में 25 को गुणनखंड बनाएँ.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-20 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-20=0 और 9x+25=0 को हल करें.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 9, b के लिए -155 और द्विघात सूत्र में c के लिए -500, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

वर्गमूल -155.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

-4 को 9 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

-36 को -500 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

24025 में 18000 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

42025 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

-155 का विपरीत 155 है.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

2 को 9 बार गुणा करें.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{155±205}{18} को हल करें. 155 में 205 को जोड़ें.

$$x=\frac{360}{18}$$

18 को 360 से विभाजित करें.

$$x=20$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{155±205}{18} को हल करें. 155 में से 205 को घटाएं.

$$x=-\frac{50}{18}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-50}{18} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{25}{9}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

समीकरण के दोनों ओर 500 जोड़ें.

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

-500 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

0 में से -500 को घटाएं.

$$9x^{2}-155x=500$$

दोनों ओर 9 से विभाजन करें.

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

9 से विभाजित करना 9 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

-\frac{155}{18} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{155}{9} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{155}{18} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{155}{18} का वर्ग करें.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{500}{9} में \frac{24025}{324} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

गुणक x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{155}{18} जोड़ें.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$