9n^2-23n+20=3n^2 का समाधान करें

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n के लिए हल करें

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 3n^{2} घटाएँ.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} प्राप्त करने के लिए 9n^{2} और -3n^{2} संयोजित करें.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 6n^{2}+an+bn+20 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूँकि a+b नकारात्मक है, a और b दोनों नकारात्मक हैं. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद 120 देते हैं.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

हल वह जोड़ी है जो -23 योग देती है.

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20 को \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

पहले समूह में 3n के और दूसरे समूह में -4 को गुणनखंड बनाएँ.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 2n-5 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, 2n-5=0 और 3n-4=0 को हल करें.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 3n^{2} घटाएँ.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} प्राप्त करने के लिए 9n^{2} और -3n^{2} संयोजित करें.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 6, b के लिए -23 और द्विघात सूत्र में c के लिए 20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

वर्गमूल -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 को 6 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 को 20 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

529 में -480 को जोड़ें.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 का वर्गमूल लें.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 का विपरीत 23 है.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 को 6 बार गुणा करें.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण n=\frac{23±7}{12} को हल करें. 23 में 7 को जोड़ें.

$$n=\frac{30}{12}$$

6 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{30}{12} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$n=\frac{5}{2}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण n=\frac{23±7}{12} को हल करें. 23 में से 7 को घटाएं.

$$n=\frac{16}{12}$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{16}{12} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$n=\frac{4}{3}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से 3n^{2} घटाएँ.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} प्राप्त करने के लिए 9n^{2} और -3n^{2} संयोजित करें.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

दोनों ओर से 20 घटाएँ. शून्य में से कुछ भी घटाने पर इसका ऋणात्मक मान प्राप्त होता है.

$$6n^{2}-23n=-20$$

दोनों ओर 6 से विभाजन करें.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 से विभाजित करना 6 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-20}{6} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

-\frac{23}{12} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{23}{6} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{23}{12} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{23}{12} का वर्ग करें.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{10}{3} में \frac{529}{144} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

फ़ैक्‍टर n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

सरल बनाएं.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{23}{12} जोड़ें.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$