9y^2=12y-4 का समाधान करें

$$9 { y }^{ 2 } = 12y-4$$

y के लिए हल करें

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 12y घटाएँ.

$$9y^{2}-12y=-4$$

दोनों ओर 4 जोड़ें.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 9y^{2}+ay+by+4 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूँकि a+b नकारात्मक है, a और b दोनों नकारात्मक हैं. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद 36 देते हैं.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

हल वह जोड़ी है जो -12 योग देती है.

$$a=-6 b=-6$$

9y^{2}-12y+4 को \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

पहले समूह में 3y के और दूसरे समूह में -2 को गुणनखंड बनाएँ.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 3y-2 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

द्विपद वर्ग के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, 3y-2=0 को हल करें.

$$y=\frac{2}{3}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 12y घटाएँ.

$$9y^{2}-12y=-4$$

दोनों ओर 4 जोड़ें.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 9, b के लिए -12 और द्विघात सूत्र में c के लिए 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

वर्गमूल -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

-4 को 9 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

-36 को 4 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

144 में -144 को जोड़ें.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

0 का वर्गमूल लें.

$$y=-\frac{-12}{2\times 9}$$

-12 का विपरीत 12 है.

$$y=\frac{12}{2\times 9}$$

2 को 9 बार गुणा करें.

$$y=\frac{12}{18}$$

6 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{12}{18} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y=\frac{2}{3}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से 12y घटाएँ.

$$9y^{2}-12y=-4$$

दोनों ओर 9 से विभाजन करें.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

9 से विभाजित करना 9 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{4}{9}$$

3 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-12}{9} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

-\frac{2}{3} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{4}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{2}{3} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{2}{3} का वर्ग करें.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{4}{9} में \frac{4}{9} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

गुणक y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

सरल बनाएं.

$$y-\frac{2}{3}=0 y-\frac{2}{3}=0$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{2}{3} जोड़ें.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{2}{3}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है. हल समान होते हैं.

$$y=\frac{2}{3}$$