8y^3-27=0 का समाधान करें

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

y के लिए हल करें (जटिल समाधान)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0.75-1.299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0.75+1.299038106i$$

हल करने वाले चरण

परिमेय मूल प्रमेय के द्वारा, बहुपद की सभी तर्कसंगत जड़ें \frac{p}{q} रूप में हैं, जहाँ p निरंतर शब्द -27 को विभाजित करती है और q अग्रग गुणांक 8 को विभाजित करती है. \frac{p}{q} सभी उंमीदवारों की सूची.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

निरपेक्ष मान के द्वारा छोटे से प्रारंभ करके, सभी पूर्णांक मानों को आज़माकर एक जैसे रूट ढूँढें. यदि कोई पूर्णांक जड़ें नहीं मिलती हैं, तो भिन्नों को आज़माएँ.

$$y=\frac{3}{2}$$

फ़ैक्टर प्रमेय के द्वारा, y-k प्रत्येक रूट k के लिए बहुपद का एक फ़ैक्टर है. 4y^{2}+6y+9 प्राप्त करने के लिए 8y^{3}-27 को 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 से विभाजित करें. समीकरण को हल करें जहाँ परिणाम 0 के बराबर हो.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 4, b के लिए 6, और c के लिए 9 प्रतिस्थापित करें.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

परिकलन करें.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

समीकरण 4y^{2}+6y+9=0 को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

सभी मिले हुए समाधानों की सूची.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

y के लिए हल करें

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

हल करने वाले चरण

परिमेय मूल प्रमेय के द्वारा, बहुपद की सभी तर्कसंगत जड़ें \frac{p}{q} रूप में हैं, जहाँ p निरंतर शब्द -27 को विभाजित करती है और q अग्रग गुणांक 8 को विभाजित करती है. \frac{p}{q} सभी उंमीदवारों की सूची.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

निरपेक्ष मान के द्वारा छोटे से प्रारंभ करके, सभी पूर्णांक मानों को आज़माकर एक जैसे रूट ढूँढें. यदि कोई पूर्णांक जड़ें नहीं मिलती हैं, तो भिन्नों को आज़माएँ.

$$y=\frac{3}{2}$$

फ़ैक्टर प्रमेय के द्वारा, y-k प्रत्येक रूट k के लिए बहुपद का एक फ़ैक्टर है. 4y^{2}+6y+9 प्राप्त करने के लिए 8y^{3}-27 को 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 से विभाजित करें. समीकरण को हल करें जहाँ परिणाम 0 के बराबर हो.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 4, b के लिए 6, और c के लिए 9 प्रतिस्थापित करें.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

परिकलन करें.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

चूँकि वास्तविक फ़ील्ड में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निर्धारित नहीं है, इसलिए कोई हल नहीं है.

$$y\in \emptyset$$

सभी मिले हुए समाधानों की सूची.

$$y=\frac{3}{2}$$