772-2x^2+x-1leq0 का समाधान करें

$$772 - 2 x ^ { 2 } + x - 1 \leq 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{6169}}{4}]\cup [\frac{\sqrt{6169}+1}{4},\infty)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

771 प्राप्त करने के लिए 1 में से 772 घटाएं.

$$771-2x^{2}+x\leq 0$$

असमानता की -1 से गुणा करें जिससे 771-2x^{2}+x में उच्चतम घात के गुणांक को धनात्मक बनाया जा सके. चूँकि -1 ऋणात्मक है, इसलिए असमानता की दिशा परिवर्तित की गई है.

$$-771+2x^{2}-x\geq 0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$-771+2x^{2}-x=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 2, b के लिए -1, और c के लिए -771 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-771\right)}}{2\times 2}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}$$

समीकरण x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{\sqrt{6169}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\right)\geq 0$$

गुणनफल को ≥0 होने के लिए, x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} और x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} दोनों को ≤0 या दोनों ≥0 होना चाहिए. x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} और x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} दोनों ≤0 हो तब केस पर विचार करें.

$$x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\leq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4} है.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

जब x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} और x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} दोनों ≥0 हो, तो केस पर विचार करें.

$$x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\geq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4} है.

$$x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$