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x के लिए हल करें
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a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18
समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 6x^{2}+ax+bx-3 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.
1,-18 2,-9 3,-6
चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -18 देते हैं.
1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3
प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.
a=-9 b=2
हल वह जोड़ी है जो -7 योग देती है.
\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)
6x^{2}-7x-3 को \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right) के रूप में फिर से लिखें.
3x\left(2x-3\right)+2x-3
6x^{2}-9x में 3x को गुणनखंड बनाएँ.
\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)
विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 2x-3 के गुणनखंड बनाएँ.
x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}
समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 2x-3=0 और 3x+1=0 को हल करें.
6x^{2}-7x-3=0
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 6, b के लिए -7 और द्विघात सूत्र में c के लिए -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}
वर्गमूल -7.
x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}
-4 को 6 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}
-24 को -3 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}
49 में 72 को जोड़ें.
x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}
121 का वर्गमूल लें.
x=\frac{7±11}{2\times 6}
-7 का विपरीत 7 है.
x=\frac{7±11}{12}
2 को 6 बार गुणा करें.
x=\frac{18}{12}
± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{7±11}{12} को हल करें. 7 में 11 को जोड़ें.
x=\frac{3}{2}
6 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{18}{12} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
x=-\frac{4}{12}
± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{7±11}{12} को हल करें. 7 में से 11 को घटाएं.
x=-\frac{1}{3}
4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-4}{12} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}
अब समीकरण का समाधान हो गया है.
6x^{2}-7x-3=0
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)
समीकरण के दोनों ओर 3 जोड़ें.
6x^{2}-7x=-\left(-3\right)
-3 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
6x^{2}-7x=3
0 में से -3 को घटाएं.
\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}
दोनों ओर 6 से विभाजन करें.
x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}
6 से विभाजित करना 6 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}
3 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{3}{6} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}
-\frac{7}{12} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{7}{6} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{7}{12} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{7}{12} का वर्ग करें.
x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{1}{2} में \frac{49}{144} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}
गुणक x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.
\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}
सरल बनाएं.
x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}
समीकरण के दोनों ओर \frac{7}{12} जोड़ें.