6x^2-12x+3geq0 का समाधान करें

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 6, b के लिए -12, और c के लिए 3 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

समीकरण x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

गुणनफल को ≥0 होने के लिए, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) और x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) दोनों को ≤0 या दोनों ≥0 होना चाहिए. x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) और x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) दोनों ≤0 हो तब केस पर विचार करें.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1 है.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

जब x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) और x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) दोनों ≥0 हो, तो केस पर विचार करें.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1 है.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$