561=2n^2-n का समाधान करें

$$561 = 2 n ^ { 2 } - n$$

n के लिए हल करें

$$n = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16.5$$

$$n=17$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$2n^{2}-n=561$$

दोनों ओर से 561 घटाएँ.

$$2n^{2}-n-561=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 2n^{2}+an+bn-561 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-1 ab=2\left(-561\right)=-1122$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -1122 देते हैं.

$$1,-1122 2,-561 3,-374 6,-187 11,-102 17,-66 22,-51 33,-34$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-1122=-1121 2-561=-559 3-374=-371 6-187=-181 11-102=-91 17-66=-49 22-51=-29 33-34=-1$$

हल वह जोड़ी है जो -1 योग देती है.

$$a=-34 b=33$$

2n^{2}-n-561 को \left(2n^{2}-34n\right)+\left(33n-561\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(2n^{2}-34n\right)+\left(33n-561\right)$$

पहले समूह में 2n के और दूसरे समूह में 33 को गुणनखंड बनाएँ.

$$2n\left(n-17\right)+33\left(n-17\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद n-17 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(n-17\right)\left(2n+33\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, n-17=0 और 2n+33=0 को हल करें.

$$n=17 n=-\frac{33}{2}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$2n^{2}-n=561$$

दोनों ओर से 561 घटाएँ.

$$2n^{2}-n-561=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए -1 और द्विघात सूत्र में c के लिए -561, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-561\right)}}{2\times 2}$$

-4 को 2 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-561\right)}}{2\times 2}$$

-8 को -561 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4488}}{2\times 2}$$

1 में 4488 को जोड़ें.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{4489}}{2\times 2}$$

4489 का वर्गमूल लें.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±67}{2\times 2}$$

-1 का विपरीत 1 है.

$$n=\frac{1±67}{2\times 2}$$

2 को 2 बार गुणा करें.

$$n=\frac{1±67}{4}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण n=\frac{1±67}{4} को हल करें. 1 में 67 को जोड़ें.

$$n=\frac{68}{4}$$

4 को 68 से विभाजित करें.

$$n=17$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण n=\frac{1±67}{4} को हल करें. 1 में से 67 को घटाएं.

$$n=-\frac{66}{4}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-66}{4} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$n=-\frac{33}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$n=17 n=-\frac{33}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$2n^{2}-n=561$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$\frac{2n^{2}-n}{2}=\frac{561}{2}$$

2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n=\frac{561}{2}$$

-\frac{1}{4} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{1}{2} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{4} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{561}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{4} का वर्ग करें.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}=\frac{561}{2}+\frac{1}{16}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{561}{2} में \frac{1}{16} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}=\frac{4489}{16}$$

गुणक n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(n-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4489}{16}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{16}}$$

सरल बनाएं.

$$n-\frac{1}{4}=\frac{67}{4} n-\frac{1}{4}=-\frac{67}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{4} जोड़ें.

$$n=17 n=-\frac{33}{2}$$