5x^2-x-2184=0 का समाधान करें

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

x के लिए हल करें

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 5x^{2}+ax+bx-2184 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -10920 देते हैं.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

हल वह जोड़ी है जो -1 योग देती है.

$$a=-105 b=104$$

5x^{2}-x-2184 को \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

पहले समूह में 5x के और दूसरे समूह में 104 को गुणनखंड बनाएँ.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-21 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-21=0 और 5x+104=0 को हल करें.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 5, b के लिए -1 और द्विघात सूत्र में c के लिए -2184, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-4 को 5 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-20 को -2184 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

1 में 43680 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

43681 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

-1 का विपरीत 1 है.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

2 को 5 बार गुणा करें.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±209}{10} को हल करें. 1 में 209 को जोड़ें.

$$x=\frac{210}{10}$$

10 को 210 से विभाजित करें.

$$x=21$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±209}{10} को हल करें. 1 में से 209 को घटाएं.

$$x=-\frac{208}{10}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-208}{10} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{104}{5}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

समीकरण के दोनों ओर 2184 जोड़ें.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

-2184 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

0 में से -2184 को घटाएं.

$$5x^{2}-x=2184$$

दोनों ओर 5 से विभाजन करें.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

5 से विभाजित करना 5 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

-\frac{1}{10} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{1}{5} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{10} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{10} का वर्ग करें.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{2184}{5} में \frac{1}{100} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

गुणक x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{10} जोड़ें.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$