5x^2+9<6x^2+7x का समाधान करें

$$5 { x }^{ 2 } +9 < 6 { x }^{ 2 } +7x$$

x के लिए हल करें

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{85}-7}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{85}-7}{2},\infty\right)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 6x^{2} घटाएँ.

$$5x^{2}+9-6x^{2}<7x$$

-x^{2} प्राप्त करने के लिए 5x^{2} और -6x^{2} संयोजित करें.

$$-x^{2}+9<7x$$

दोनों ओर से 7x घटाएँ.

$$-x^{2}+9-7x<0$$

असमानता की -1 से गुणा करें जिससे -x^{2}+9-7x में उच्चतम घात के गुणांक को धनात्मक बनाया जा सके. चूँकि -1 ऋणात्मक है, इसलिए असमानता की दिशा परिवर्तित की गई है.

$$x^{2}-9+7x>0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$x^{2}-9+7x=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए 7, और c के लिए -9 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{-7±\sqrt{85}}{2}$$

समीकरण x=\frac{-7±\sqrt{85}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{\sqrt{85}-7}{2} x=\frac{-\sqrt{85}-7}{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$\left(x-\frac{\sqrt{85}-7}{2}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2}\right)>0$$

गुणनफल को धनात्मक होने के लिए, x-\frac{\sqrt{85}-7}{2} और x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2} दोनों को ऋणात्मक या दोनों को धनात्मक होना चाहिए. x-\frac{\sqrt{85}-7}{2} और x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2} दोनों ऋणात्मक हो तब केस पर विचार करें.

$$x-\frac{\sqrt{85}-7}{2}<0 x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2}<0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x<\frac{-\sqrt{85}-7}{2} है.

$$x<\frac{-\sqrt{85}-7}{2}$$

जब x-\frac{\sqrt{85}-7}{2} और x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2} दोनों धनात्मक हो, तो केस पर विचार करें.

$$x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2}>0 x-\frac{\sqrt{85}-7}{2}>0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x>\frac{\sqrt{85}-7}{2} है.

$$x>\frac{\sqrt{85}-7}{2}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x<\frac{-\sqrt{85}-7}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{85}-7}{2}$$