49t^2-147t-196=0 का समाधान करें

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

t के लिए हल करें

$$t=-1$$

$$t=4$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर 49 से विभाजन करें.

$$t^{2}-3t-4=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर t^{2}+at+bt-4 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -4 देते हैं.

$$1,-4 2,-2$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-4=-3 2-2=0$$

हल वह जोड़ी है जो -3 योग देती है.

$$a=-4 b=1$$

t^{2}-3t-4 को \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

t^{2}-4t में t को गुणनखंड बनाएँ.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद t-4 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, t-4=0 और t+1=0 को हल करें.

$$t=4 t=-1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 49, b के लिए -147 और द्विघात सूत्र में c के लिए -196, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

वर्गमूल -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

-4 को 49 बार गुणा करें.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

-196 को -196 बार गुणा करें.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

21609 में 38416 को जोड़ें.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

60025 का वर्गमूल लें.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

-147 का विपरीत 147 है.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

2 को 49 बार गुणा करें.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण t=\frac{147±245}{98} को हल करें. 147 में 245 को जोड़ें.

$$t=\frac{392}{98}$$

98 को 392 से विभाजित करें.

$$t=4$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण t=\frac{147±245}{98} को हल करें. 147 में से 245 को घटाएं.

$$t=-\frac{98}{98}$$

98 को -98 से विभाजित करें.

$$t=-1$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$t=4 t=-1$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

समीकरण के दोनों ओर 196 जोड़ें.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

-196 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

0 में से -196 को घटाएं.

$$49t^{2}-147t=196$$

दोनों ओर 49 से विभाजन करें.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

49 से विभाजित करना 49 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

49 को -147 से विभाजित करें.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

49 को 196 से विभाजित करें.

$$t^{2}-3t=4$$

-\frac{3}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -3 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{3}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{3}{2} का वर्ग करें.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

4 में \frac{9}{4} को जोड़ें.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

फ़ैक्‍टर t^{2}-3t+\frac{9}{4}. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{3}{2} जोड़ें.

$$t=4 t=-1$$