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4x^{2}+4x=5
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
4x^{2}+4x-5=5-5
समीकरण के दोनों ओर से 5 घटाएं.
4x^{2}+4x-5=0
5 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 4, b के लिए 4 और द्विघात सूत्र में c के लिए -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}
वर्गमूल 4.
x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}
-4 को 4 बार गुणा करें.
x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}
-16 को -5 बार गुणा करें.
x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}
16 में 80 को जोड़ें.
x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}
96 का वर्गमूल लें.
x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}
2 को 4 बार गुणा करें.
x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}
± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} को हल करें. -4 में 4\sqrt{6} को जोड़ें.
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}
8 को -4+4\sqrt{6} से विभाजित करें.
x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}
± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} को हल करें. -4 में से 4\sqrt{6} को घटाएं.
x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
8 को -4-4\sqrt{6} से विभाजित करें.
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
अब समीकरण का समाधान हो गया है.
4x^{2}+4x=5
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}
दोनों ओर 4 से विभाजन करें.
x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}
4 से विभाजित करना 4 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}+x=\frac{5}{4}
4 को 4 से विभाजित करें.
x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{1}{2} का वर्ग करें.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{5}{4} में \frac{1}{4} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}
गुणक x^{2}+x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.
\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}
सरल बनाएं.
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
समीकरण के दोनों ओर से \frac{1}{2} घटाएं.