x के लिए हल करें
x=-\frac{1}{2}=-0.5
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क्लिपबोर्ड में प्रतिलिपि बनाई गई
a+b=4 ab=4\times 1=4
समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 4x^{2}+ax+bx+1 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.
1,4 2,2
चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूंकि a+b सकारात्मक है, a और b दोनों सकारात्मक हैं. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद 4 देते हैं.
1+4=5 2+2=4
प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.
a=2 b=2
हल वह जोड़ी है जो 4 योग देती है.
\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)
4x^{2}+4x+1 को \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right) के रूप में फिर से लिखें.
2x\left(2x+1\right)+2x+1
4x^{2}+2x में 2x को गुणनखंड बनाएँ.
\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)
विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 2x+1 के गुणनखंड बनाएँ.
\left(2x+1\right)^{2}
द्विपद वर्ग के रूप में फिर से लिखें.
x=-\frac{1}{2}
समीकरण के हल ढूँढने के लिए, 2x+1=0 को हल करें.
4x^{2}+4x+1=0
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 4, b के लिए 4 और द्विघात सूत्र में c के लिए 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}
वर्गमूल 4.
x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}
-4 को 4 बार गुणा करें.
x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}
16 में -16 को जोड़ें.
x=-\frac{4}{2\times 4}
0 का वर्गमूल लें.
x=-\frac{4}{8}
2 को 4 बार गुणा करें.
x=-\frac{1}{2}
4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-4}{8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
4x^{2}+4x+1=0
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
4x^{2}+4x+1-1=-1
समीकरण के दोनों ओर से 1 घटाएं.
4x^{2}+4x=-1
1 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}
दोनों ओर 4 से विभाजन करें.
x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}
4 से विभाजित करना 4 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}+x=-\frac{1}{4}
4 को 4 से विभाजित करें.
x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{1}{2} का वर्ग करें.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=0
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{1}{4} में \frac{1}{4} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0
गुणक x^{2}+x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.
\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0
सरल बनाएं.
x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}
समीकरण के दोनों ओर से \frac{1}{2} घटाएं.
x=-\frac{1}{2}
अब समीकरण का समाधान हो गया है. हल समान होते हैं.
उदाहरण
द्विघात समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिति
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रैखिक समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
मैट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
समकालिक समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
अवकलन
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
समाकलन
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमाएँ
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}