4(x+1)^2-169=0 का समाधान करें

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

x के लिए हल करें

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

x^{2}+2x+1 से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

-165 प्राप्त करने के लिए 169 में से 4 घटाएं.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 4x^{2}+ax+bx-165 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -660 देते हैं.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

हल वह जोड़ी है जो 8 योग देती है.

$$a=-22 b=30$$

4x^{2}+8x-165 को \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

पहले समूह में 2x के और दूसरे समूह में 15 को गुणनखंड बनाएँ.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 2x-11 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 2x-11=0 और 2x+15=0 को हल करें.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

x^{2}+2x+1 से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

-165 प्राप्त करने के लिए 169 में से 4 घटाएं.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 4, b के लिए 8 और द्विघात सूत्र में c के लिए -165, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

वर्गमूल 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

-4 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

-16 को -165 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

64 में 2640 को जोड़ें.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

2704 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

2 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-8±52}{8} को हल करें. -8 में 52 को जोड़ें.

$$x=\frac{44}{8}$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{44}{8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{11}{2}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-8±52}{8} को हल करें. -8 में से 52 को घटाएं.

$$x=-\frac{60}{8}$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-60}{8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{15}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

x^{2}+2x+1 से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

-165 प्राप्त करने के लिए 169 में से 4 घटाएं.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

दोनों ओर 165 जोड़ें. किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने पर परिणाम वही आता है.

$$4x^{2}+8x=165$$

दोनों ओर 4 से विभाजन करें.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

4 से विभाजित करना 4 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

4 को 8 से विभाजित करें.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

1 प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 2 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर 1 का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

वर्गमूल 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

\frac{165}{4} में 1 को जोड़ें.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

गुणक x^{2}+2x+1. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर से 1 घटाएं.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$