4left(x+3right)^2-12x-72>0 का समाधान करें

$$4 { \left(x+3 \right) }^{ 2 } -12x-72 > 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in \left(-\infty,\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\right)\cup \left(\frac{3\sqrt{5}-3}{2},\infty\right)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(x+3\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)-12x-72>0$$

x^{2}+6x+9 से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4x^{2}+24x+36-12x-72>0$$

12x प्राप्त करने के लिए 24x और -12x संयोजित करें.

$$4x^{2}+12x+36-72>0$$

-36 प्राप्त करने के लिए 72 में से 36 घटाएं.

$$4x^{2}+12x-36>0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$4x^{2}+12x-36=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 4, b के लिए 12, और c के लिए -36 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-36\right)}}{2\times 4}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{5}}{8}$$

समीकरण x=\frac{-12±12\sqrt{5}}{8} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$4\left(x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}\right)\left(x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\right)>0$$

गुणनफल को धनात्मक होने के लिए, x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2} और x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2} दोनों को ऋणात्मक या दोनों को धनात्मक होना चाहिए. x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2} और x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2} दोनों ऋणात्मक हो तब केस पर विचार करें.

$$x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}<0 x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}<0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x<\frac{-3\sqrt{5}-3}{2} है.

$$x<\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

जब x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2} और x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2} दोनों धनात्मक हो, तो केस पर विचार करें.

$$x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}>0 x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}>0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x>\frac{3\sqrt{5}-3}{2} है.

$$x>\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x<\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\text{; }x>\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$$