30x+21x^2=3384 का समाधान करें

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

x के लिए हल करें

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13.428571429$$

$$x=12$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 3384 घटाएँ.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 7x^{2}+ax+bx-1128 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -7896 देते हैं.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

हल वह जोड़ी है जो 10 योग देती है.

$$a=-84 b=94$$

7x^{2}+10x-1128 को \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

पहले समूह में 7x के और दूसरे समूह में 94 को गुणनखंड बनाएँ.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-12 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-12=0 और 7x+94=0 को हल करें.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$21x^{2}+30x=3384$$

समीकरण के दोनों ओर से 3384 घटाएं.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

3384 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 21, b के लिए 30 और द्विघात सूत्र में c के लिए -3384, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

वर्गमूल 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

-4 को 21 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

-84 को -3384 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

900 में 284256 को जोड़ें.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

285156 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

2 को 21 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-30±534}{42} को हल करें. -30 में 534 को जोड़ें.

$$x=\frac{504}{42}$$

42 को 504 से विभाजित करें.

$$x=12$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-30±534}{42} को हल करें. -30 में से 534 को घटाएं.

$$x=-\frac{564}{42}$$

6 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-564}{42} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{94}{7}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$21x^{2}+30x=3384$$

दोनों ओर 21 से विभाजन करें.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

21 से विभाजित करना 21 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

3 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{30}{21} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

3 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{3384}{21} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

\frac{5}{7} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक \frac{10}{7} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{5}{7} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{5}{7} का वर्ग करें.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{1128}{7} में \frac{25}{49} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

गुणक x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{5}{7} घटाएं.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$