3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16 का समाधान करें

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

गुणनखंड निकालें

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

हल करने वाले चरण

पदों की तरह गुणा करें और संयोजित करें.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

व्यंजक का गुणनखंड निकालने के लिए, उस समीकरण को हल करें जहाँ अभिव्यक्ति 0 बराबर होती है.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

तर्कसंगत रूट प्रमेय के द्वारा, बहुपद की सभी तर्कसंगत जड़ें \frac{p}{q} रूप में हैं, जहाँ p निरंतर शब्द -16 को विभाजित करती है और q अग्रणी गुणांक 3 को विभाजित करती है. \frac{p}{q} सभी उंमीदवारों की सूची.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

निरपेक्ष मान के द्वारा छोटे से प्रारंभ करके, सभी पूर्णांक मानों को आज़माकर एक जैसे रूट ढूँढें. यदि कोई पूर्णांक जड़ें नहीं मिलती हैं, तो भिन्नों को आज़माएँ.

$$x=-4$$

फ़ैक्टर प्रमेय के द्वारा, x-k प्रत्येक रूट k के लिए बहुपद का एक फ़ैक्टर है. 3x^{3}+12x^{2}-x-4 प्राप्त करने के लिए 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 को x+4 से विभाजित करें. परिणाम का गुणनखंड निकालने के लिए, उस समीकरण को हल करें जहाँ अभिव्यक्ति 0 बराबर होती है.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

तर्कसंगत रूट प्रमेय के द्वारा, बहुपद की सभी तर्कसंगत जड़ें \frac{p}{q} रूप में हैं, जहाँ p निरंतर शब्द -4 को विभाजित करती है और q अग्रणी गुणांक 3 को विभाजित करती है. \frac{p}{q} सभी उंमीदवारों की सूची.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

निरपेक्ष मान के द्वारा छोटे से प्रारंभ करके, सभी पूर्णांक मानों को आज़माकर एक जैसे रूट ढूँढें. यदि कोई पूर्णांक जड़ें नहीं मिलती हैं, तो भिन्नों को आज़माएँ.

$$x=-4$$

फ़ैक्टर प्रमेय के द्वारा, x-k प्रत्येक रूट k के लिए बहुपद का एक फ़ैक्टर है. 3x^{2}-1 प्राप्त करने के लिए 3x^{3}+12x^{2}-x-4 को x+4 से विभाजित करें. परिणाम का गुणनखंड निकालने के लिए, उस समीकरण को हल करें जहाँ अभिव्यक्ति 0 बराबर होती है.

$$3x^{2}-1=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 3, b के लिए 0, और c के लिए -1 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

समीकरण 3x^{2}-1=0 को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

प्राप्त की गई रूटों का उपयोग करके फ़ैक्टर व्यंजक को फिर से लिखें. बहुपद 3x^{2}-1 फ़ैक्टर नहीं किया गया क्योंकि इसमें कोई तर्कसंगत रूट नहीं हैं.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

मूल्यांकन करें

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

हल करने वाले चरण

47x^{2} प्राप्त करने के लिए 48x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$